Dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), ta có:

\(\left| {f\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) - 2} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) = 1}\\{f\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) = 3}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 3x + 1 = b}&{(b <  - 1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}\\{{x^3} - 3x + 1 = c}&{( - 1 < c < 2)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}\\{{x^3} - 3x + 1 = d}&{(d > 3)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)}\\{{x^3} - 3x + 1 = a}&{(a > d)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\end{array}} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) (hình vẽ dưới đây)

Suy ra phương trình (1), (2), (4) mỗi phương trình có 1 nghiệm.

Phương trình (3) có 3 nghiệm và các nghiệm đều phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.

Đáp án: 6.