Nhận xét: Để tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0 thì số lượng số 1 và số lượng số \[ - 1\] trong mỗi hàng và mỗi cột đều là 2.

Do đó, mỗi hàng và mỗi cột đều có đúng 2 số 1.

Chọn 2 ô ở cột 1 để đặt số 1, ta có: \(C_4^2 = 6\) (cách).

Ví dụ: Ở mỗi hàng mà chứa 2 ô vừa được chọn, ta chọn đúng 1 ô để đặt số 1, khi đó có 2 trường hợp:

TH1: 2 ô được chọn ở cùng một cột: có \(C_3^1 = 3\) (cách)

Khi đó, ở 2 cột còn lại có duy nhất cách đặt số 1 vào 4 ô: không cùng hàng và cột với ô đã điền. Như hình vẽ sau:

TH2: 2 ô được chọn khác cột có: \(3 \cdot 2 = 6\) (cách)

Khi đó, số cách đặt 4 số 1 còn lại là: \[1 \cdot 1 \cdot 2!{\rm{ }} = {\rm{ }}2\] (cách), trong đó, 2 số 1 để vào đúng 2 ô còn lại của hàng chưa điền, 2 số 1 còn lại hoán vị vào 2 ô ở 2 hàng vừa điền bước trước.

Vậy, số cách xếp là: \(6 \cdot \left( {3 \cdot 1 + 6 \cdot 2} \right) = 6 \cdot 15 = 90\) (cách).

Đáp án: 90.