Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\). Do \(\Delta SAB\) đều và \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có \({S_{SAB}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow AB = 3\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot A{B^2} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} \cdot \frac{{{9^2}}}{2} = \frac{2}\) (đvtt).

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \[SAB,\] qua \(G\) kẻ đường thẳng song song với \[AB,\] cắt \[SA\] và \[SB\] lần lượt tại \[M,{\rm{ }}N.\]

Qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \[BC\] cắt \[SC\] tại \(P\), qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \[AD\] cắt \[SD\] tại \[Q.\]

Suy ra \(\left( {MNPQ} \right)\) là mặt phẳng đi qua \(G\) và song song với \(\left( {ABCD} \right)\).

Khi đó \(\frac = \frac = \frac = \frac = \frac = \frac{2}{3}.\)

Ta có \(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac \cdot \frac \cdot \frac = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{8}\)\( \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{8} \cdot {V_{S.ABC}} = \frac{8} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{4}{V_{S.ABCD}}\)

\(\frac{{{V_{S.MPQ}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac \cdot \frac \cdot \frac = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{8} \Rightarrow {V_{S.MPQ}} = \frac{8} \cdot {V_{S.ACD}} = \frac{8} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{4}{V_{S.ABCD}}\)

Vậy \({V_{S.MNPQ}} = {V_{S.MNP}} + {V_{S.MPQ}} = \frac{4}{V_{S.ABCD}} + \frac{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{8}{V_{S.ABCD}} = \frac{8} \cdot \frac{2} = 12\) (đvtt).

Đáp án: 12.