Xét tam giác ABC có

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos B\)

\( = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {2^2} - 2 \cdot \sqrt 3  \cdot \cos 30^\circ  = 1\).

Suy ra \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 4\) hay \[\Delta ABC\] vuông tại \[B.\]

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(IA = IC = IB.\) (1)

Tương tự \[\Delta ANC\] vuông tại \(N\) ta được \(IA = IC = IN.\) (2)

Mà \(AM \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(AM \bot BC\), ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \bot BC}\\{AM \bot SB\,\,(gt)}\end{array} \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)} \right.\).

Mà \(MC \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(AM \bot MC.\)

Suy ra tam giác \[AMC\] vuông tại \(M\) ta được \(IA = IB = IM.\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiép hình chóp \[S.BCNM\] và có bán kính là \(R = AI = \frac{2} = 1.\)

Đáp án: 1.