Kẻ \(AH \bot BC\), ta có \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot BC\)

Suy ra \(BC \bot \left( {A'AH} \right) \Rightarrow A'H \bot BC\)

Do đó \(\left( {\widehat {\left( {A'BC} \right);\,\,\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {A'H;\,\,AH}} \right) = \widehat {A'HA} = 60^\circ \)

\(\Delta A'AH\) vuông tại \(A\), có \[\tan \widehat {A'HA} = \frac{{AA'}}\]

Xét \[\Delta ABC\] vuông cân tại \(A\) nên \(BC = 2AH = 12\sqrt 3 .\)

Diện tích \[\Delta ABC\] là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt 3  \cdot 12\sqrt 3  = 108.\)

Vậy thể tích cần tính là \(V = AA' \cdot {S_{ABC}} = 6 \cdot 108 = 648.\)

Đáp án: 648.