TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} .\)

Tiệm cận đứng: \(x = 1\left( \right)\), tiệm cận ngang: \(y = 1\) nên \(\left( \right) \Rightarrow I\left( {1\,;\,\,1} \right)\)

Ta có \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có dạng \(y = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2}}} + \frac{{2{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 2}}\)

\(A = \Delta  \cap {d_1} \Rightarrow A\left( {1\,;\,\,\frac{}{{{x_0} - 1}}} \right)\,;\,\,B = \Delta  \cap {d_2}\)\( \Rightarrow B\left( {2{x_0} - 1\,;\,\,1} \right)\,;\,\,\overrightarrow {IB}  = \left( {2{x_0} - 2\,;\,\,0} \right)\,;\,\,\overrightarrow {IA}  = \left( {0\,;\,\,\frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)\)

Ta có \({S_{OIB}} = {S_{OIA}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot OI \cdot IB \cdot \sin \widehat {OIB} = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot OI \cdot IA \cdot \sin \widehat {OIA}\)

\( \Leftrightarrow IB = 8IA\,\,\left( {{\rm{v\`i  }}\widehat {OIB} = \widehat {OIA} = 135^\circ } \right) \Leftrightarrow \left| {2{x_0} - 2} \right| = 8\left| {\frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 4 \Rightarrow {x_0} = 3\,\,\left( {{\rm{do }}{x_0} > 1} \right) \Rightarrow {y_0} = \frac{5}{4} \Rightarrow S = {x_0} + 4{y_0} = 3 + 4 \cdot \frac{5}{4} = 8.\)

Đáp án: 8.