Đáp án: 602

Giải chi tiết:

Đặt \(f\left( x \right) = {\log _{2020}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) - {\log _4}\left( {x - y} \right)\) (coi \[y\] là tham số).

Điều kiện xác định của \[f\left( x \right)\] là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + {y^2} > 0}\\{{y^2} + y + 64 > 0}\\{x - y > 0}\end{array}} \right.\].

Do \[x,\;y\] nguyên nên \(x > y \ge - {y^2}\). Cũng vì \(x,\;y\) nguyên nên ta chỉ xét \(f\left( x \right)\) trên nửa khoảng \(\left[ {y + 1; + \infty } \right)\).

\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {x + {y^2}} \right)\ln 2020}} - \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\ln 2021}} - \frac{1}{{\left( {x - y} \right)\ln 4}} < 0,\;\forall x \ge y + 1\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\):

Yêu cầu bài toán trở thành: \(f\left( {y + 64} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _{2020}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) < {\log _4}64\)

\( \Leftrightarrow {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right)\left( {{{\log }_{2020}}2021 + 1} \right) < 3\)

\( \Leftrightarrow {y^2} + y + 64 - {2021^{\frac{3}{{{{\log }_{2020}}2021 + 1}}}} < 0\)

\( \Leftrightarrow - 301,76 < y < 300,76\).

Mà \(y\) nguyên nên \(y \in \left\{ { - 301; - 300; \ldots ;299;300} \right\}\).

Vậy có 602 giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn yêu cầu.