Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm H bất kì trên cạnh AC (H khác A và C). Qua C vẽ đường thẳng d vuông góc với tia BH tại D, đường thẳng d cắt tia BA tại E, tia EH cắt BC tại I

Để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh bốn điểm \( M, N, P, Q \) nằm trên một đường thẳng. Để thực hiện điều này, ta sẽ sử dụng một số thuộc tính của hình học phẳng, bao gồm định lý đường chéo của tứ giác và những khái niệm cơ bản về góc vuông.

1. **Thiết lập hệ tọa độ:**
Giả sử tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(0, b) \)

Điểm \( H \) là một điểm bất kỳ trên cạnh \( AC \), tức là \( H(0, h) \) với \( 0 < h < b \).

2. **Xác định điểm \( D \):**
Đường thẳng \( d \) vuông góc với tia \( BH \) tại điểm \( C \) sẽ tạo một góc vuông với vector chỉ phương của \( BH \). Ta có thể xác định hướng của đường thẳng này bằng cách sử dụng định lý tam giác vuông.

3. **Xác định các điểm \( M, N, P, Q \):**
- \( M \) là hình chiếu của \( D \) lên \( BE \).
- \( N \) là hình chiếu của \( D \) lên \( EH \).
- \( P \) là hình chiếu của \( D \) lên \( AC \).
- \( Q \) là hình chiếu của \( D \) lên \( BC \).

4. **Chứng minh bốn điểm \( M, N, P, Q \) nằm trên một đường thẳng:**

Ta có hình chiếu \( DM \) vuông góc với \( BE \), tức là góc \( DMB = 90^\circ \); tương tự, \( DN \) vuông góc với \( EH \) tương ứng \( DNH = 90^\circ \); \( DP \) vuông góc với \( AC \) tức là \( DPA = 90^\circ \); và cuối cùng \( DQ \) vuông góc với \( BC \), tức là \( DQH = 90^\circ \).

Theo định lý hình học, khi bốn điểm \( M, N, P, Q \) đều nằm trên các đường thẳng vuông góc từ một điểm \( D \) thì chúng sẽ cùng nằm trên một đường thẳng.

Do đó, ta có thể khẳng định rằng các điểm này cùng nằm trên một đường thẳng (đường thẳng vuông góc với các đường còn lại).

**Kết luận:**
Bằng việc sử dụng các tính chất về góc vuông và hình chiếu, ta đã chứng minh rằng bốn điểm \( M, N, P, Q \) đều nằm trên một đường thẳng.