Gọi \[I\] là tâm mặt cầu và \[S.ABCD\] là hình chóp nội tiếp mặt cầu.

Gọi \[x\] là độ dài cạnh \[SO,{\rm{ }}M\] là trung điểm của \[SD.\]

Ta có \[SI \cdot SO = SM \cdot SD = \frac{1}{2}{\rm{S}}{{\rm{D}}^2} \Rightarrow {\rm{S}}{{\rm{D}}^2} = 2{\rm{SI}} \cdot {\rm{SO}} = 18{\rm{x}}\]. Suy ra \(O{D^2} = 18x - {x^2}\).

Thể tích khối chóp \[S.ABCD\] bằng

\({\rm{V}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{{\rm{ABCD}}}} = \frac{1}{3}x \cdot 2 \cdot O{{\rm{D}}^2} = \frac{2}{3}x\left( {18x - {x^2}} \right) = \frac{2}{3}{x^2}\left( {18 - x} \right)\).

Ta có \({x^2}\left( {18 - x} \right) = 4\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}\left( {18 - x} \right) \le 4 \cdot {\left( {\frac{3}} \right)^3} = 864\).

Vậy thể tích của khối chóp là: \({\rm{V}} = \frac{2}{3} \cdot 864 = 576\).

Đáp án: 576.