a) Ta có: EIB^= 90° (vì CI ⊥ AB)

EFB^= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác BIEF có EIB^+EFB^= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác BIEF nội tiếp.

b) Tam giác ABC có ACB^= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra ∆ACB vuông tại C

Xét ∆ACB vuông tại C đường cao IC, ta được:

AC² = AI . AB (1)

Xét ∆ AEI và ∆ ABF có:

FAB^ là góc chung

AEI^=ABF^ (tứ giác BIEF nội tiếp)

Suy ra ∆ AEI  ∆ ABF (g.g)

Từ đó suy ra AEAB=AIAF⇔AE.AF=AB.AI (2)

Từ (1) và (2) suy ra

AC² = AI.AB = AE.AF (điều phải chứng minh)

c) Ta có CF ⊥ FM (CFM^ = 90° góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

DN ⊥ FM (giả thiết)

Suy ra CF // DM

Suy ra tứ giác CFND là hình thang (3)

Ta có CFD^=FDN^ (hai góc so le trong của CF // DN)

Suy ra CD⌢=NF⌢ (hai góc nội tiếp bằng nhau)

Û CD⌢+CF⌢=CF⌢+FN⌢

Û DF⌢=CN⌢

⇒FND^=CDN^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (4)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác CFND là hình thang cân.

Suy ra CN = FD (hai đường chéo của hình thang cân).

d) Ta có K là giao điểm của CN và FD nên:

CK = KF

Mà ta cũng có CO = OF = R.

Suy ra OK là trung trực của CF.

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp của CEF sẽ thuộc đường thẳng OK (5)

Ta có O là trung điểm CM.

I là trung điểm CD (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây).

Suy ra OI là đường trung bình của ∆DCM.

Suy ra IO // DM.

Suy ra AB // DM.

Đường tròn (O) có dây AB // dây DM suy ra AD⌢=MB⌢

⇔AD⌢+DM⌢=DM⌢+MB⌢

⇔AM⌢=DB⌢⇒AFM^=DCB^

Gọi P là giao điểm của FM và CB.

Xét tứ giác ECFP có ECP^=EFP^

Suy ra tứ giác ECFP nội tiếp.

Tứ giác ECFP nội tiếp có CFP^= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra CP là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECFP.

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECFP thuộc CP.

Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF thuộc CB (6)

Từ (5) và (6) suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF là giao điểm của OK và BC