Mặt cầu \((S)\) có tâm \(O(0;0;0)\) và bán kính \(R = 2\).

Ta có: \(OM = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) nên M nằm trong mặt cầu \((S)\).

Ta có: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}AB \cdot d(O;d) = AH \cdot OH = \sqrt {4 - O{H^2}}  \cdot OH\).

Vì \(OH \le OM\) nên diện tích \({\rm{AOB}}\) lớn nhất

 \( \Leftrightarrow OH = OM \Leftrightarrow OM \bot AB\).

Khi đó \({S_{\max }} = \sqrt {4 - O{M^2}}  \cdot OM = \frac{{\sqrt {55} }}{4} \Rightarrow {S_{{{\max }^2}}} = \frac\).

Đáp án: \(\frac\).