c,Kẻ đường kính AI  của đường tròn (O) , gọi giao điểm của MN và ED  là P

Xét đường tròn (O) ta có: ACI^=900,ABI^=900  (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra  CI⊥AC,BI⊥AB lại có: BD⊥AC,CE⊥AB(gt)  nên BH//CI,CH//BI

Xét tứ giác BHCI  có: BH//CICH//BI⇒BHCI  là hình bình hành có M là trung điểm BC nên M cũng là trung điểm của HI

Xét ΔHIA  có: M là trung điểm của HI, N là trung điểm của AH

⇒MN là đường trung bình của ΔHAI⇒MN//AI  (tính chất đường trung bình)

Theo câu b) ta có: AO⊥DE⇒MN⊥DE  tại P

Xét tam giác PLD vuông có PLD^=900−PDL^(3)

Xét đường tròn (O) có M là trung điểm của  BC⇒OM⊥BC hay là đường trung trực của BC

Mà K∈OM⇒KB=KC

Xét ΔKBC  cân tại K có KM là đường cao nên cũng là đường phân giác ΔKBC

⇒BKM^=MKC^ (tính chất đường phân giác)

Xét ΔKMC  vuông tại M có  MKC^=900−KCM^⇒BKM^=900−KCM^(4)

Lại có: EDB^=ECB^  (do tứ giác BEDC nội tiếp) hay PDL^=KCM^(5)

Từ (3) (4) (5) suy ra BKM^=PLD^  mà PLD^=BLM^  (hai góc đối đỉnh ) nên BLM^=BKM^

Xét tứ giác BLKM có BLM^=BKM^  nên hai đỉnh L, K kề nhau cùng nhìn cạnh BM  dưới các góc bằng nhau, do đó tứ giác BLKM  là tứ giác nội tiếp

Suy ra BLM^+BMK^=1800⇔BLK^=1800−900=900

Hay KL⊥BD   mà AC⊥BD(gt)⇒KL//AC