b) Xét phương trình hoành độ giao điềm :

12x2=x+12m2+m+1⇔x2−2x−m2−2m−2=0*

Để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x1,x2

⇔Δ'>0⇔1+m2+2m+2>0⇔m2+2m+3>0⇔m+12+2>0

Do m+12≥0⇒m+12+2>0(với mọi m) nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt  x1;x2

⇒Đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2

Khi đó, áp dụng định lý Vi-et ta có : x1+x2=2x1x2=−m2−2m−2

Theo đề bài ra ta có :x13+x23=68⇔x1+x23−3x1x2x1+x2=68⇔23−3.−m2−2m−2.2=68⇔6m2+12m−48=0⇔m2+2m−8=0**

Ta có Δm'=12−1.−8=9=32>0 nên phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt

m=−1+3=2m=−1−3=−4

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn là m = 2 hoặc m = -4