Từ \(\frac{{MA'}} = \frac{{MB'}} = \frac{1}{3},\,\,\frac{{CC'}} = \frac{{DD'}} = \frac{2}{3},\,\,\frac{{ME'}}{{{E^\prime }E}} = \frac{1}{2}\) suy ra:

\(\frac{{MA'}} = \frac{{MB'}} = \frac{{MC'}} = \frac{{MD'}} = \frac{{ME'}} = \frac{1}{3}.\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Do đó: A’B’ // AB, B’C’ // BC, C’D’ // CD, D’E’ // DE, E’A’ // EA (định lí Thalès đảo).

Do A’B’ // AB nên \(\widehat {MA'B'} = \widehat {MAB}\) (đồng vị);

Do E’A’ // EA nên \(\widehat {MA'E'} = \widehat {MAE}\) (đồng vị).

Suy ra \(\widehat {MA'B'} + \widehat {MA'E'} = \widehat {MAB} + \widehat {MAE}\)

Hay \(\widehat {B'A'E'} = \widehat {BAE}.\)

Chứng minh tương tự, ta được các góc A’, B’, C’, D’, E’ của ngũ giác A’B’C’D’E’ tương ứng bằng các góc A, B, C, D, E của ngũ giác đều ABCDE.

Mà ABCDE là ngũ giác đều nên góc A, B, C, D, E của ngũ giác bằng nhau.

Do đó các góc của ngũ giác A’B’C’D’E’ bằng nhau. (2)

Mặt khác, từ (1) ta cũng chứng minh được:

\(A'B' = \frac{3};\) \(B'C' = \frac{3};\) \(C'D' = \frac{3};\) \(D'E' = \frac{3};\) \(E'A' = \frac{3}.\)

Mà ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA.

Do đó: A’B’ = B’C’ = C’D’ = D’E’ = E’A’. (3)

Từ (2) và (3) suy ra ngũ giác A’B’C’D’E’ là ngũ giác đều.