Để giải phương trình

\[
\sqrt{16x + 16} - \sqrt{9x + 9} = 1
\]

ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Đưa tất cả các hạng tử chứa căn về một phía**:

\[
\sqrt{16x + 16} = \sqrt{9x + 9} + 1
\]

2. **Bình phương hai bên**:

\[
16x + 16 = (\sqrt{9x + 9} + 1)^2
\]

3. **Giải phương trình bên phải**:

\[
16x + 16 = (9x + 9) + 2\sqrt{9x + 9} + 1
\]
\[
16x + 16 = 9x + 10 + 2\sqrt{9x + 9}
\]
\[
16x + 16 - 9x - 10 = 2\sqrt{9x + 9}
\]
\[
7x + 6 = 2\sqrt{9x + 9}
\]

4. **Bình phương lại để loại bỏ căn**:

\[
(7x + 6)^2 = (2\sqrt{9x + 9})^2
\]
\[
49x^2 + 84x + 36 = 4(9x + 9)
\]

5. **Phát triển và rút gọn**:

\[
49x^2 + 84x + 36 = 36x + 36
\]
\[
49x^2 + 84x - 36x + 36 - 36 = 0
\]
\[
49x^2 + 48x = 0
\]

6. **Yếu tố ra và giải**:

\[
x(49x + 48) = 0
\]

Từ đây ta có hai nghiệm:

\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 49x + 48 = 0 \implies x = -\frac{48}{49}
\]

7. **Kiểm tra các nghiệm**:

- Với \( x = 0 \):

\[
\sqrt{16(0) + 16} - \sqrt{9(0) + 9} = \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1 \quad \text{(đúng)}
\]

- Với \( x = -\frac{48}{49} \):

Tính giá trị của các căn sẽ không hợp lệ vì căn không thể cho giá trị âm trong trường hợp này.

Vậy nghiệm cuối cùng là:

\[
\boxed{0}
\]