Gọi x (m) là cạnh đáy của chiếc hộp.

Khi đó, ta có chiều cao của chiếc hộp là \(\frac{{{x^2}}}\) (cm).

Suy ra, tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp là:

S = 2x² + 4x.\(\frac{{{x^2}}}\) = 2x² + \(\frac{x}\), x > 0.

Ta có: S' = 4x – \(\frac{{{x^2}}}\) = \(\frac{{4{x^3} - 8000}}{{{x^2}}}\)

           S' = 0 ⇔ x = 10\(\sqrt[3]{2}\).

Ta có bảng biến thiên:

Dễ thấy lượng vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất khi cạnh đáy của hộp là 10\(\sqrt[3]{2}\) (cm) và chiều cao của hộp là \(\frac{{\sqrt[3]{4}}}\) cm.