Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Kẻ MH⊥BC, AH'⊥BC H,H'∈BC⇒MH€AH'⇒MHAH'=MPAP, (Hệ quả ĐL Talet).
Lại có MHAH'=12MH.BC12AH'.BC=SMBCSABC⇒MPAP=SMBCSABC.
Chứng minh tương tự, ta có MQBQ=SMACSABC; MKCK=SMABSABC.
Suy ra MPAP+MQBQ+MKCK=SMBCSABC+SMACSABC+SMABSABC=1.
Đặt x=MPAP; y=MQBQ; z=MKCK thì x, y, z > 0 và x+y+z=1.
Theo đề bài: MA.MB.MC≥8MP.MQ.MK⇔MAMP.MBMQ.MCMK≥8
⇔APMP−1BQMQ−1CKMK−1≥8
Hay: 1x−11y−11z−1≥8
⇔1xyz−1xy+1yz+1xz+1x+1y+1z−1≥8⇔1xyz−x+y+zxyz+1x+1y+1z≥9
⇔1xyz−1xyz+1x+1y+1z≥9 (do x+y+z=1)
⇔1x+1y+1z≥9
⇔x+y+z1x+1y+1z≥9⇔1+xy+xz+yx+1+yz+zx+zy+1≥9⇔xy+yx−2+yz+zy−2+zx+xz−2≥0⇔x−y2xy+y−z2yz+z−x2zx≥0. (*)
Bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng với x, y, z>0.
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=13, hay MPAP=MQBQ=MKCK=13 ⇔M là trọng tâm ΔABC.
Vậy MA.MB.MC≥8MP.MQ.MK.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |