Để tìm số nguyên \( n \) sao cho biểu thức \( n^2 + 2n + 8 \) là một số chính phương, ta đặt \( n^2 + 2n + 8 = k^2 \) với \( k \) là một số nguyên.

Ta có phương trình:

\[
n^2 + 2n + 8 - k^2 = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm nguyên, ta tính delta của nó:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - k^2) = 4 - 32 + 4k^2 = 4k^2 - 28
\]

Phương trình có nghiệm nguyên khi và chỉ khi delta là một số chính phương. Do đó, ta cần có:

\[
4k^2 - 28 = m^2
\]

với \( m \) là một số nguyên. Ta có thể biến đổi phương trình thành:

\[
4k^2 - m^2 = 28
\]

Phương trình này có thể viết lại dưới dạng:

\[
(2k - m)(2k + m) = 28
\]

Bây giờ, ta sẽ tìm các cặp \( (x, y) \) sao cho \( xy = 28 \):

1. \( (1, 28) \)
2. \( (2, 14) \)
3. \( (4, 7) \)
4. \( (-1, -28) \)
5. \( (-2, -14) \)
6. \( (-4, -7) \)

Từ mỗi cặp \( (x, y) \), ta có thể thiết lập hệ phương trình:

\[
2k - m = x
\]
\[
2k + m = y
\]

Giải từng hệ này:

1. Với \( (1, 28) \):
- \( 2k - m = 1 \)
- \( 2k + m = 28 \)

Cộng hai phương trình lại:
\[
4k = 29 \Rightarrow k = \frac{29}{4} \text{ (không nguyên)}
\]

2. Với \( (2, 14) \):
- \( 2k - m = 2 \)
- \( 2k + m = 14 \)

Cộng:
\[
4k = 16 \Rightarrow k = 4
\]

Thay vào một trong hai phương trình:
\[
2k - m = 2 \Rightarrow 8 - m = 2 \Rightarrow m = 6
\]

3. Với \( (4, 7) \):
- \( 2k - m = 4 \)
- \( 2k + m = 7 \)

Cộng:
\[
4k = 11 \Rightarrow k = \frac{11}{4} \text{ (không nguyên)}
\]

Tiếp tục với các cặp âm:

4. Với \( (-1, -28) \):
- \( 2k - m = -1 \)
- \( 2k + m = -28 \)

Cộng:
\[
4k = -29 \Rightarrow k = -\frac{29}{4} \text{ (không nguyên)}
\]

5. Với \( (-2, -14) \):
- \( 2k - m = -2 \)
- \( 2k + m = -14 \)

Cộng:
\[
4k = -16 \Rightarrow k = -4
\]

Thay vào một trong hai phương trình:
\[
2k - m = -2 \Rightarrow -8 - m = -2 \Rightarrow m = -6
\]

Như vậy, \( k = 4 \) và \( k = -4 \) dẫn đến \( k^2 = 16 \).

Bây giờ ta quay lại với:

\[
n^2 + 2n + 8 = 16
\]
\[
n^2 + 2n - 8 = 0
\]

Giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức bậc 2:

\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}
\]

Do đó, có:

\[
n = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{và} \quad n = \frac{-8}{2} = -4
\]

Vậy các giá trị nguyên \( n \) thỏa mãn yêu cầu là:

\[
\boxed{2} \quad \text{và} \quad \boxed{-4}
\]