Tìm số nguyên n sao cho n^2+2n+8 là số chính phương Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để tìm số nguyên \( n \) sao cho biểu thức \( n^2 + 2n + 8 \) là một số chính phương, ta đặt \( n^2 + 2n + 8 = k^2 \) với \( k \) là một số nguyên. Ta có phương trình: \[ n^2 + 2n + 8 - k^2 = 0 \] Để phương trình này có nghiệm nguyên, ta tính delta của nó: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - k^2) = 4 - 32 + 4k^2 = 4k^2 - 28 \] Phương trình có nghiệm nguyên khi và chỉ khi delta là một số chính phương. Do đó, ta cần có: \[ 4k^2 - 28 = m^2 \] với \( m \) là một số nguyên. Ta có thể biến đổi phương trình thành: \[ 4k^2 - m^2 = 28 \] Phương trình này có thể viết lại dưới dạng: \[ (2k - m)(2k + m) = 28 \] Bây giờ, ta sẽ tìm các cặp \( (x, y) \) sao cho \( xy = 28 \): 1. \( (1, 28) \) 2. \( (2, 14) \) 3. \( (4, 7) \) 4. \( (-1, -28) \) 5. \( (-2, -14) \) 6. \( (-4, -7) \) Từ mỗi cặp \( (x, y) \), ta có thể thiết lập hệ phương trình: \[ 2k - m = x \] \[ 2k + m = y \] Giải từng hệ này: 1. Với \( (1, 28) \): - \( 2k - m = 1 \) - \( 2k + m = 28 \) Cộng hai phương trình lại: \[ 4k = 29 \Rightarrow k = \frac{29}{4} \text{ (không nguyên)} \] 2. Với \( (2, 14) \): - \( 2k - m = 2 \) - \( 2k + m = 14 \) Cộng: \[ 4k = 16 \Rightarrow k = 4 \] Thay vào một trong hai phương trình: \[ 2k - m = 2 \Rightarrow 8 - m = 2 \Rightarrow m = 6 \] 3. Với \( (4, 7) \): - \( 2k - m = 4 \) - \( 2k + m = 7 \) Cộng: \[ 4k = 11 \Rightarrow k = \frac{11}{4} \text{ (không nguyên)} \] Tiếp tục với các cặp âm: 4. Với \( (-1, -28) \): - \( 2k - m = -1 \) - \( 2k + m = -28 \) Cộng: \[ 4k = -29 \Rightarrow k = -\frac{29}{4} \text{ (không nguyên)} \] 5. Với \( (-2, -14) \): - \( 2k - m = -2 \) - \( 2k + m = -14 \) Cộng: \[ 4k = -16 \Rightarrow k = -4 \] Thay vào một trong hai phương trình: \[ 2k - m = -2 \Rightarrow -8 - m = -2 \Rightarrow m = -6 \] Như vậy, \( k = 4 \) và \( k = -4 \) dẫn đến \( k^2 = 16 \). Bây giờ ta quay lại với: \[ n^2 + 2n + 8 = 16 \] \[ n^2 + 2n - 8 = 0 \] Giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức bậc 2: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \] Do đó, có: \[ n = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{và} \quad n = \frac{-8}{2} = -4 \] Vậy các giá trị nguyên \( n \) thỏa mãn yêu cầu là: \[ \boxed{2} \quad \text{và} \quad \boxed{-4} \]