Cho hệ (m - 1)x - my = 3m - 1

Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(m - 1)x - my = 3m - 1 \quad (1)\\
2x - y = m + 5 \quad (2)
\end{cases}
\]

### Phần a: Giải hệ khi \( m = -1 \)

Thay \( m = -1 \) vào hai phương trình trên:

1. Phương trình (1):
\[
(-1 - 1)x - (-1)y = 3(-1) - 1 \\
-2x + y = -3 - 1 \\
-2x + y = -4 \quad (1')
\]

2. Phương trình (2):
\[
2x - y = -1 + 5 \\
2x - y = 4 \quad (2')
\]

Giải hệ hai phương trình (1') và (2'):
\[
\begin{cases}
-2x + y = -4 \\
2x - y = 4
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình lại:
\[
(-2x + y) + (2x - y) = -4 + 4 \\
0 = 0
\]

Hệ này có vô số nghiệm. Ta có thể tính giá trị của \( y \) theo \( x \) từ (1'):
\[
y = 2x - 4
\]

Vậy nghiệm của hệ là:
\[
(x, 2x - 4) \text{ với } x \in \mathbb{R}.
\]

### Phần b: Tìm \( m \) để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn \( S = x^2 + y^2 \) nhỏ nhất

Để hệ có nghiệm duy nhất, định thức của hệ phương trình phải khác không.

Tính định thức \( D \) của hệ:

\[
D = \begin{vmatrix}
m - 1 & -m \\
2 & -1
\end{vmatrix} = (m - 1)(-1) - (-m)(2) = -m + 1 + 2m = m + 1.
\]

Để hệ có nghiệm duy nhất, đòi hỏi:
\[
D \neq 0 \Rightarrow m + 1 \neq 0 \Rightarrow m \neq -1.
\]

Để tìm giá trị \( m \) sao cho \( S = x^2 + y^2 \) nhỏ nhất, từ phương trình (2), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[
y = 2x - (m + 5).
\]

Thay vào \( S = x^2 + y^2 \):
\[
S = x^2 + (2x - (m + 5))^2.
\]
Giải phương trình:
\[
S = x^2 + (4x^2 - 4x(m + 5) + (m + 5)^2) = 5x^2 - 4x(m + 5) + (m + 5)^2.
\]
Đặt \( S \) ở dạng bậc hai:
\[
S = 5x^2 - 4(m + 5)x + (m + 5)^2.
\]

Để \( S \) có giá trị nhỏ nhất, nghiệm của phương trình bậc hai này sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi:
\[
b^2 - 4ac \geq 0 \Rightarrow (4(m + 5))^2 - 4 \cdot 5 \cdot (m + 5)^2 \geq 0.
\]

Rút gọn điều này:
\[
16(m + 5)^2 - 20(m + 5)^2 \geq 0 \Rightarrow -4(m + 5)^2 \geq 0,
\]
Hệ quả là \( m + 5 = 0 \Rightarrow m = -5 \).

Do đó, \( m = -5 \) là giá trị duy nhất để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và \( S \) đạt cực tiểu.