Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
\({\left( {a + b + c} \right)^3}\)
\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 3{b^2}c + 2b{c^2} + 3{c^2}a + 3c{a^2} + 6abc\)
\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + \left( {3{a^2}b + 3a{b^2} + 3abc} \right) + \left( {3{b^2}c + 2b{c^2} + 3abc} \right) + \left( {3{c^2}a + 3c{a^2} + 3abc} \right) - 3abc\)
\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab\left( {a + b + c} \right) + 3bc\left( {a + b + c} \right) + 3ca\left( {a + b + c} \right) - 3abc\)
Với a3 + b3 + c3 = 3abc nên suy ra:
\[{\left( {a + b + c} \right)^3} = 3ab\left( {a + b + c} \right) + 3bc\left( {a + b + c} \right) + 3ca\left( {a + b + c} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{\left( {a + b + c} \right)^2} = 3ab + 3bc + 3ca\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\a = b = c = 0\end{array} \right.\]
Vậy nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c.
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |