Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Từ trung điểm H của đoạn OB, kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và D.
a) Chứng minh HC = HD và tứ giác ODBC là hình thoi.
b) Tính số đo của \[\widehat {BOC}\].
c) Gọi M là điểm đối xứng của O qua B. Chứng minh MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Tính MC theo R.
d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt CD ở I. Chứng minh HI.HD + HB.HM = R2.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Lời giải
a) Đường tròn (O) có AB là đường kính, CD là dây cung và AB ⊥ CD tại H.
Suy ra H là trung điểm của CD.
Do đó HC = HD.
Tứ giác ODBC có H là trung điểm của hai đường chéo OB và CD.
Suy ra tứ giác ODBC là hình bình hành.
Mà OB ⊥ CD tại H (giả thiết).
Do đó ODBC là hình thoi.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Ta có tứ giác ODBC là hình thoi (kết quả câu a).
Suy ra BC = OC.
Mà OB = OC = R.
Do đó BC = OB = OC = R.
Vì vậy ∆OBC đều nên \(\widehat {BOC} = 60^\circ \).
c) Ta có BC = OB (do ∆OBC đều) và OB = BM (do M là điểm đối xứng của O qua B).
Suy ra OB = BM = BC.
Do đó ∆OCM vuông tại C.
Vì vậy \(\widehat {OCM} = 90^\circ \).
Vậy MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O).
∆OCM vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:
\(MC = \sqrt {O{M^2} - O{C^2}} = \sqrt {4O{B^2} - O{C^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \).
Vậy \(MC = R\sqrt 3 \).
d) Ta có H là trung điểm OB. Suy ra \(OH = HB = \frac{2}\).
∆OCI vuông tại O có OH là đường cao: OH2 = HI.HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà HC = HD (do H là trung điểm của CD)
Suy ra OH2 = HI.HD (1)
∆OCM vuông tại C có CH là đường cao: CH2 = HO.HM (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà HO = HB (do H là trung điểm của OB)
Suy ra CH2 = HB.HM (2)
∆OCH vuông tại H: OC2 = CH2 + OH2 (định lí Pythagore) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: OC2 = HB.HM + HI.HD.
Mà OC = R
Suy ra R2 = HI.HD + HB.HM.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |