Cho tỉ lệ thức a/b = b/c = c/d = d/a. Chứng minh rằng a=c; b=d

Để chứng minh rằng \( a = c \) và \( b = d \) từ tỉ lệ thức \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{d}{a} \), chúng ta có thể ký hiệu tỉ lệ này bằng một hằng số \( k \):

\[
\frac{a}{b} = k, \quad \frac{b}{c} = k, \quad \frac{c}{d} = k, \quad \frac{d}{a} = k
\]

Từ các tỉ lệ này, chúng ta có thể viết lại các biến theo hằng số \( k \):

1. \( a = kb \)
2. \( b = kc \)
3. \( c = kd \)
4. \( d = \frac{a}{k} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra mối quan hệ giữa \( a \), \( b \), \( c \) và \( d \):

Từ \( a = kb \) và \( b = kc \), ta thay \( b \) vào biểu thức của \( a \):

\[
a = k(kc) = k^2c
\]
Từ đó, ta có:
\[
c = \frac{a}{k^2}
\]

Tiếp theo, từ \( c = kd \) và thay \( d \) từ \( d = \frac{a}{k} \):

\[
c = k\left(\frac{a}{k}\right) = a
\]

Vậy ta đã chứng minh được \( a = c \).

Tiếp tục, ta sẽ chứng minh \( b = d \):

Từ \( b = kc \) và \( c = kd \), ta thay \( c \) vào biểu thức của \( b \):

\[
b = k(kd) = k^2d
\]

Từ đó, ta có:
\[
d = \frac{b}{k^2}
\]

Xét \( d = \frac{a}{k} \), thay \( a = kb \):
\[
d = \frac{kb}{k} = b
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( b = d \).

Tổng kết lại, từ giả thiết \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{d}{a} \), chúng ta đã chứng minh được:

\[
a = c \quad \text{và} \quad b = d.
\]

Do đó, kết luận \( a = c \) và \( b = d \) là đúng.