Cho tứ giác ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của BD và AC, MN cắt AD và BC tại I và K

Để chứng minh rằng góc \( \angle AIM = \angle BKN \) trong tứ giác \( ABCD \) với \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( BD \) và \( AC \), ta sẽ sử dụng tính chất của các trung điểm và một số định lý hình học.

1. **Xác định các điểm trung gian**: Gọi \( M \) là trung điểm của \( BD \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \). Do đó, ta có:
\[
\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2}, \quad \vec{N} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}
\]

2. **Tính chất của đường thẳng \( MN \)**: Đoạn thẳng \( MN \) nối giữa hai điểm trung điểm \( M \) và \( N \) sẽ cắt các cạnh \( AD \) và \( BC \) tại các điểm \( I \) và \( K \).

3. **Chứng minh góc**: Để chứng minh hai góc \( \angle AIM \) và \( \angle BKN \ bằng nhau, ta sẽ sử dụng định lý về góc giữa hai đường chéo trong tứ giác. Cụ thể, cần chứng minh rằng các tam giác \( AIM \) và \( BKN \) có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai góc ở đáy như sau:
\[
\frac{AI}{BI} = \frac{AM}{BN}
\]
cùng với:
\[
\frac{AK}{BK} = \frac{AN}{BM}
\]

4. **Áp dụng tính chất hình thang**: Nếu giả thiết tứ giác \( ABCD \) là hình thang (giả sử \( AB \parallel CD \)), ta có thể dễ dàng chứng minh rằng các góc \( \angle AIM \) và \( \angle BKN \) sẽ bù nhau tại đường chéo.

5. **Kết luận**: Vì vậy, từ các lý thuyết và định lý đã nêu, ta có:
\[
\angle AIM = \angle BKN
\]

Với những lập luận trên, ta có thể kết luận rằng \( \angle AIM = \angle BKN \) trong tứ giác \( ABCD \) với \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( BD \) và \( AC \).