+ Ta dễ dàng chứng minh được ΔAMO=ΔANOc−g−c⇒∠MOA=∠NOAt/c  1 .

Do AO⊥BC=O  (gt)

⇒∠CON+∠NOA=∠AOC=90° và ∠MOA+∠MOB=∠AOB=90°  2 .

Mặt khác: ∠MOB=∠COP  (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒∠NOC=∠COP  (cùng phụ với các góc bằng nhau).

Xét ΔNOC  và ΔPOC  có: OC chung;ON=OP;∠NOC=∠POCcmt

⇒ΔNOC=ΔPOCc−g−c⇒∠ONC=∠OPC=90°⇒OP⊥PC

Vậy CP là tiếp tuyến tại P với đường tròn.

+ Ta có:ΔNOC=ΔPOC⇒CN=CP *

Xét ΔMOB  và ΔPOC  có: OM=OP;∠MOB=∠POC;∠OMB=∠OPC=90°

⇒ΔMOB=ΔPOCg−c−g⇒BM=CP**

Từ (*) và (**) ⇒BM=CN .

Vậy BM=CN .