Để rút gọn các biểu thức đã cho, ta thực hiện từng phần một như sau:

### a)
\[
\frac{\sqrt{a - 2a}}{2\sqrt{a - 1}} = \frac{\sqrt{-a}}{2\sqrt{a - 1}}
\]
Rút gọn không được, vì không có giá trị thực cho trường hợp này.

### b)
\[
\frac{x^2 - 2}{x - \sqrt{2}}
\]
Ta có thể áp dụng công thức phân tích đa thức:
\[
x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})
\]
Vậy
\[
\frac{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{x - \sqrt{2}} = x + \sqrt{2} \quad (x \neq \sqrt{2})
\]

### c)
\[
\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 9}
\]
Ta có thể viết \(x - 9\) là \((\sqrt{x - 3})^2 - 6\):
\[
x - 9 = (\sqrt{x - 3} - 3)(\sqrt{x - 3} + 3)
\]
Vì vậy, ta rút gọn:
\[
\frac{\sqrt{x - 3}}{(\sqrt{x - 3} - 3)(\sqrt{x - 3} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x - 3} + 3} \quad (\text{cho } x > 3)
\]

### d)
\[
\frac{x + \sqrt{x}\sqrt{y}}{x - y}
\]
Ta phân tích:
\[
\sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy} \Rightarrow \frac{x + \sqrt{xy}}{x - y}
\]
Vì đây không thể rút gọn thêm nữa, nên biểu thức này giữ nguyên dạng.

### Kết quả:
- a) Không rút gọn được.
- b) \(x + \sqrt{2} \quad (x \neq \sqrt{2})\)
- c) \(\frac{1}{\sqrt{x - 3} + 3} \quad (x > 3)\)
- d) Giữ nguyên.