Để tính độ dài đoạn thẳng \( BD \) trong tam giác \( ABC \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(2a, 0) \).
- Để xác định điểm \( C \), sử dụng tính chất của tam giác:
- Độ dài \( AC = 3a \) và \( BC = 4a \).
- Tọa độ điểm \( C \) có thể được xác định bằng cách giải hệ phương trình từ độ dài các cạnh.

2. **Tính tọa độ trung điểm**:
- Trung điểm \( M \) của đoạn \( AC \): \( M = \left( \frac{0 + x_C}{2}, \frac{0 + y_C}{2} \right) \).

3. **Tính trọng tâm**:
- Trọng tâm \( G \) của tam giác có tọa độ:
\[
G\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)
\]

4. **Tính độ dài đoạn thẳng \( BD \)**:
- Đầu tiên, cần tìm điểm \( D \) bằng cách xác định giao điểm của hai đường phân giác \( AD \) và \( BE \).
- Sau đó, sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm \( B \) và \( D \) để tính độ dài \( BD \).

5. **Gắn với a**:
- Cuối cùng, biểu thức cuối cùng của độ dài đoạn \( BD \) sẽ theo tham số \( a \).

Do đó, kích thước đoạn thẳng \( BD \) sẽ phụ thuộc vào các bước tính toán từ các định nghĩa hình học. Bạn có thể cung cấp thêm thông tin cụ thể nếu cần hướng dẫn chi tiết hơn trong từng bước.