Chứng minh bài toán này theo từng phần như sau:

**a) Chứng minh: \(\triangle OAD = \triangle OBC\)**

- Ta có \(OA = OB\) (điều kiện đã cho).
- Vì \(O\) là đỉnh chung của hai tam giác \(OAD\) và \(OBC\).
- Gọi \(\angle OAD = \alpha\) và \(\angle OBC = \beta\). Ta cần chứng minh \(\alpha = \beta\).

Trong hai tam giác, \(AD\) và \(BC\) nằm giữa hai tia khác nhau, nên có thể áp dụng tính chất góc đối diện:
\[ \alpha + \angle AOD + \beta + \angle BOC = 180^\circ \]

Mà \(\angle AOD = \angle BOC\) (hai góc này bằng nhau vì là hai góc đối diện), do đó:
\(\angle OAD = \angle OBC\).

=> \(\triangle OAD = \triangle OBC\) (cạnh - góc - cạnh).

---

**b) Chứng minh: \(\overline{OCB} = \overline{ODA}\) và \(\overline{CAD} = \overline{DBC}\)**

- Ta có \(OC = OD\) (điều kiện đã cho).
- Do đó, trong tam giác \(OBC\) và \(ODA\), chúng ta đã có:
+ Cạnh \(OC = OD\).
+ Cạnh \(OB = OA\).

Hai tam giác đó cũng có chung cạnh \(O\) và \(OC = OD\). Do đó:
\[ \triangle OCB = \triangle ODA \text{ (cạnh - góc - cạnh)} \]
\[ \Rightarrow \overline{OCB} = \overline{ODA}. \]

---

**c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Chứng minh \(IA = IB\)**

- Trong tam giác \(OAD\) và \(OBC\), ta đã chứng minh rằng:
\[ \triangle OAD \cong \triangle OBC. \]
- Với \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\), thì từ tính chất của tam giác đồng dạng, do đó:
\[ \frac{IA}{IB} = \frac{OA}{OB} = 1 \Rightarrow IA = IB. \]

Kết luận: \(IA = IB\).

Vậy các phần chứng minh đã hoàn tất.