Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
(1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})y = 5 \quad (1)\\
(1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3 \quad (2)
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Trừ hai phương trình để loại bỏ một biến**:

\[
(1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})y - \left((1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y\right) = 5 - 3
\]

Điều này đơn giản hóa về:

\[
(1 - \sqrt{2})y - (1 + \sqrt{2})y = 2
\]

\[
-2\sqrt{2}y = 2
\]

Do đó:

\[
y = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

2. **Thay giá trị của \(y\) vào phương trình (1) hoặc (2) để tìm giá trị của \(x\)**. Ta sẽ sử dụng phương trình (1):

\[
(1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 5
\]

Giải phương trình trên:

\[
(1 + \sqrt{2})x - \frac{\sqrt{2} - 2}{2} = 5
\]

\[
(1 + \sqrt{2})x = 5 + \frac{\sqrt{2} - 2}{2}
\]

\[
(1 + \sqrt{2})x = 5 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Chia hai bên cho \(1 + \sqrt{2}\):

\[
x = \frac{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \sqrt{2}}
\]

3. **Tính giá trị cuối cùng cho \(x\)**:

Điểm cuối cùng của giải hệ phương trình sẽ là:

\[
x = \frac{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \sqrt{2}}
\]

Sau khi tính toán, bạn sẽ có được giá trị của \(x\). Để có giá trị cụ thể, bạn cần dùng máy tính hoặc tiếp tục tính toán tay.

**Kết quả cuối cùng**:

Hệ phương trình có nghiệm \((x, y)\), nơi \(y = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) và \(x\) là kết quả của phép tính trên.