Cho: a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca. Tính S = (a - b)^2 + (a - 2c)^2023 + (3b - 2c)^2023

Để tính giá trị của \( S = (a - b)^2 + (a - 2c)^{2023} + (3b - 2c)^{2023} \) với điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \), ta sẽ phân tích đẳng cấu \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \).

Đẳng thức này có thể được viết lại như sau:

\[
\frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0
\]

Điều này chỉ xảy ra khi \( a = b = c \). Do đó, theo điều kiện này, ta có thể đặt \( a = b = c \) và tính giá trị của \( S \).

Thay \( a = b = c \) vào \( S \):

\[
S = (a - a)^2 + (a - 2a)^{2023} + (3a - 2a)^{2023}
\]
\[
= 0^2 + (-a)^{2023} + a^{2023}
\]
\[
= 0 + (-a)^{2023} + a^{2023}
\]

Với \( a^{2023} \) và \( (-a)^{2023} \) nhận thấy rằng:

- Nếu \( a > 0 \): \( (-a)^{2023} = -a^{2023} \)
- Nếu \( a < 0 \): \( (a)^{2023} = -(-a)^{2023} \)
- Nếu \( a = 0 \): cả hai đều bằng 0

Do đó, bất kể \( a \) có giá trị như thế nào (với điều kiện \( a = b = c \)), ta luôn có:

\[
(-a)^{2023} + a^{2023} = 0
\]

Kết luận:

\[
S = 0
\]

Vậy giá trị của \( S \) là \( \boxed{0} \).