Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC). Gọi M là trung điểm của BC 

Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về các tính chất của tam giác vuông, các đường thẳng song song và các tính chất của hình chữ nhật và hình bình hành.

**a)** Chứng minh rằng tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( A \) là điểm đáy của tam giác vuông tại \( A \), \( B \) là điểm trên cạnh \( AB \) và \( C \) là điểm trên cạnh \( AC \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

2. **Vẽ các đường thẳng**:
- Vẽ đường thẳng \( ME \) song song với \( AB \), tức là \( ME \parallel AB \).
- Vẽ đường thẳng \( MF \) song song với \( AC \), tức là \( MF \parallel AC \).

3. **Chứng minh các góc**:
- Từ tính chất của hai đường thẳng song song cắt bởi một đường thẳng, ta có:
- Góc \( AEM = AME \) (góc đồng vị) và \( MF \) vừa vẽ cũng tạo ra góc \( AMF \) tại điểm \( A \).
- Do đó, \( \angle AEM + \angle AMF = 180^\circ \).

4. **Xác nhận tính chất hình chữ nhật**:
- Thêm vào đó, \( E \) thuộc \( AC \) và \( F \) thuộc \( AB \) khiến cho hai đoạn \( AE \) và \( AF \) vuông góc với nhau.
- Do đó, ta đã chứng minh rằng tứ giác \( AEMF \) là hình chữ nhật vì nó có 4 góc vuông.

**b)** Chứng minh rằng tứ giác BFEM là hình bình hành.

1. **Gọi các điểm**:
- Ta đã có các điểm \( B, F, E, M \).

2. **Xác định các cạnh**:
- Đoạn \( BM \) là đoạn nối từ đỉnh \( B \) đến trung điểm \( M \) của cạnh \( BC \).
- Đoạn \( EM \) là đoạn nối từ điểm \( E \) trên cạnh \( AC \) đến điểm \( M \) trên cạnh \( BC \).

3. **Chứng minh cạnh đối song song**:
- Vì \( ME \parallel AB \) nên \( MB \) và \( EM \) là hai đoạn thẳng đối song song (bởi \( M \) là trung điểm dẫn đến ngôi nhà chính giữa của hai cạnh \( AC \) và \( AB \)).
- Mặt khác, từ việc vẽ \( MF \parallel AC \), ta thấy rằng cũng có mối liên hệ tương tự, tức là \( BE \) và \( MF \) cũng song song với nhau.

4. **Chứng minh rằng \( BF = EM \)** và **\( BE = FM \)**:
- Từ sự đồng dạng, ta thấy rằng \( BF \) song song với \( EM \) và \( BE \) song song với \( MF \) mà bề mặt có kết cấu vững chắc.

5. **Kết luận**:
- Vì \( BF \parallel EM \) và \( BE \parallel MF \) cùng với việc \( BM = EM \) và \( BE = FM \), ta thấy rằng tứ giác \( BFEM \) thỏa mãn các tính chất của hình bình hành, từ đó chứng minh rằng \( BFEM \) là hình bình hành.

Vậy, chúng ta đã hoàn thành bài toán với hai yêu cầu đã chứng minh.