Để giải phương trình

\[
\sqrt{16x + 16} - \sqrt{9x + 9} = 1,
\]

ta thực hiện các bước sau:

1. **Đưa một hạng tử sang một bên**:

\[
\sqrt{16x + 16} = \sqrt{9x + 9} + 1.
\]

2. **Bình phương cả hai vế**:

\[
16x + 16 = (9x + 9) + 2\sqrt{9x + 9} + 1.
\]

3. **Rút gọn**:

\[
16x + 16 = 9x + 10 + 2\sqrt{9x + 9}.
\]

4. **Chuyển các hạng tử về một bên**:

\[
16x + 16 - 9x - 10 = 2\sqrt{9x + 9}.
\]

Kết quả là:

\[
7x + 6 = 2\sqrt{9x + 9}.
\]

5. **Bình phương lại**:

\[
(7x + 6)^2 = (2\sqrt{9x + 9})^2.
\]

6. **Giải phương trình**:

\[
49x^2 + 84x + 36 = 4(9x + 9).
\]

Rút gọn bên phải:

\[
49x^2 + 84x + 36 = 36x + 36.
\]

Chuyển tất cả về một bên:

\[
49x^2 + 84x - 36x + 36 - 36 = 0,
\]

hoặc

\[
49x^2 + 48x = 0.
\]

7. **Giải phương trình bậc hai**:

\[
x(49x + 48) = 0.
\]

Nên \(x = 0\) hoặc \(49x + 48 = 0\).

Giải tương ứng:

\[
49x + 48 = 0 \implies 49x = -48 \implies x = -\frac{48}{49}.
\]

8. **Kiểm tra giá trị**:

- Với \(x = 0\):

\[
\sqrt{16(0) + 16} - \sqrt{9(0) + 9} = 4 - 3 = 1.
\]

- Với \(x = -\frac{48}{49}\):

\[
\sqrt{16(-\frac{48}{49}) + 16} - \sqrt{9(-\frac{48}{49}) + 9},
\]

không đủ điều kiện vì căn bậc hai không cho giá trị âm.

**Kết luận**: Giá trị duy nhất thỏa mãn là \(x = 0\).