Phân tích đa thức thành nhân tử:

Để phân tích đa thức \( P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1 \) thành nhân tử, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp như nhóm hạng tử hoặc áp dụng định lý về đa thức, chẳng hạn như định lý Ruffini nếu đa thức có yếu tố là một đơn thức.

Bước đầu tiên là thử tìm các nghiệm của đa thức này. Chúng ta sẽ thử một số giá trị nguyên:

1. Thử \( x = 1 \):
\[
P(1) = 1^4 - 2(1)^3 + 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 3 - 2 + 1 = 1 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

2. Thử \( x = -1 \):
\[
P(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

3. Thử \( x = 0 \):
\[
P(0) = 0^4 - 2(0)^3 + 3(0)^2 - 2(0) + 1 = 1 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

4. Thử \( x = 2 \):
\[
P(2) = 2^4 - 2(2)^3 + 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 16 - 16 + 12 - 4 + 1 = 9 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

5. Thử \( x = -2 \):
\[
P(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 2(-2) + 1 = 16 + 16 + 12 + 4 + 1 = 49 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Từ các phép thử trên, không tìm thấy nghiệm nguyên. Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện phân tích theo cách khác.

Tiếp theo, thử phân nhóm hạng tử. Chia đa thức thành 2 nhóm hạng tử:
\[
P(x) = (x^4 - 2x^3) + (3x^2 - 2x + 1)
\]
Sau khi rút gọn, ta có:
\[
= x^3(x - 2) + (3x^2 - 2x + 1)
\]
Nhưng không thể áp dụng tiếp tục cách này.

Vì vậy, để tìm các phản ứng khả thi trong phân tích, ta sẽ thực hiện việc kiểm tra lại ước số. Cuối cùng, đa thức này có thể được phân tích thành:
\[
P(x) = (x^2 - x + 1)^2
\]

Chúng ta có thể xác minh:
\[
(x^2 - x + 1)(x^2 - x + 1) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1
\]

Như vậy, đa thức \( x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1 \) có thể được phân tích thành nhân tử như sau:
\[
x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = (x^2 - x + 1)^2
\]