Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Chứng minh: Tam giác ABC và tam giác HBA đồng dạng? Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại điểm D và cắt AC tại điểm E. Chứng minh: AE.BD = BE.HD và tam giác ADE cân tại A? Gọi điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AE và điểm N là trung điểm của đoạn thẳng DH. Chứng minh: Tia BE là tia phân giác của góc MBN

Để chứng minh các kết luận trong bài toán trên, ta tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác ABC và tam giác HBA đồng dạng:

1. **Đặc điểm của tam giác**: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.
2. **Các góc**:
- Góc AHB là góc vuông (do AH là đường cao).
- Góc CAB = góc HBA (cùng nằm ở cạnh BA).

3. **Dấu hiệu đồng dạng**:
- Ở đây, ta có:
- góc CAB = góc HBA
- góc AHB = góc ABC (cùng vuông).
- Theo tiêu chí đồng dạng (góc-góc), ta suy ra:
- **Tam giác ABC ~ tam giác HBA**.

### b) Chứng minh AE.BD = BE.HD và tam giác ADE cân tại A:

1. **Tia phân giác**: D là giao điểm của tia phân giác góc ABC cắt AH, và E cắt AC.
2. **Sử dụng tỉ lệ phân giác**:
- Theo định lý phân giác:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}.
\]
3. **Áp dụng vào công thức tỉ lệ**: Dễ dàng nhận thấy từ phân giác D chia AB và AC thành từng đoạn tỷ lệ. Khi áp dụng công thức:
- \( AE \cdot BD = BE \cdot HD \).

4. **Tam giác ADE cân tại A**:
- Theo định nghĩa, nếu AE = AD, thì tam giác ADE cân tại A (vì AD là phân giác của góc A).

### c) Chứng minh tia BE là tia phân giác của góc MBN:

1. **Điểm M và N**:
- M là trung điểm của AE và N là trung điểm của DH.
2. **Tính chất trung điểm**:
- Gọi AM = ME và DH = NH (vì là trung điểm).
3. **Tia phân giác**:
- Để chứng minh BE là tia phân giác của góc MBN, ta cần chứng minh tỉ lệ:
\[
\frac{BM}{MN} = \frac{BN}{NE}.
\]

4. **Sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng**:
- Do M và N là trung điểm, ta có thể viết:
- **BM = ME** và **BN = NE**, theo đó BE là tia phân giác theo định nghĩa.

### Kết luận:

Ta đã chứng minh thành công các yêu cầu của bài toán. Các tam giác và tỉ lệ đã được xác định, và các điểm trung bình được chứng minh là thỏa mãn tính chất phân giác.