Để giải bài toán của bạn, chúng ta sẽ xem xét từng phần một.

### Bài 1: Tính diện tích tam giác đều ABC

Tam giác đều có công thức tính diện tích như sau:

\[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]

Trong đó, \( a \) là độ dài cạnh của tam giác. Với tam giác đều \( ABC \) có độ dài cạnh là 10 cm:

\[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (10)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 = 25\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

### Bài 2: Tính thể tích hình chóp tam giác đều O.ABC

Để tính thể tích của hình chóp, ta sử dụng công thức sau:

\[
V = \frac{1}{3} S_{ đáy} \cdot h
\]

Trong đó:
- \( S_{ đáy} \) là diện tích đáy của hình chóp, là tam giác đều ABC.
- \( h \) là chiều cao của hình chóp.

**Bước 1:** Tính diện tích đáy \( S_{ đáy} \):

Vì đáy \( ABC \) là tam giác đều với cạnh \( AB = 10 \, \text{cm} \), ta có:

\[
S_{ đáy} = 25\sqrt{3} \text{ cm}^2 \quad (\text{như đã tính ở Bài 1})
\]

**Bước 2:** Tính chiều cao \( h \):

Chiều cao \( h \) có thể tìm bằng định lý Pytago trong tam giác \( OAB \) (được tạo bởi điểm O là đỉnh chóp, A và B là hai đỉnh của đáy).

Gọi \( m \) là độ dài đường trung đoạn, \( O \) là đỉnh chóp cao thẳng đứng xuống điểm \( D \) (trung điểm của \( AB \)). Trong tam giác vuông \( OAD \):

- \( AD \) là nửa cạnh đáy: \( AD = \frac{AB}{2} = 5 \, \text{cm} \)
- \( OAD \) có chiều cao \( OD = h \) và đường trung đoạn \( OA = 12 \, \text{cm} \).

Áp dụng định lý Pytago:

\[
OA^2 = OD^2 + AD^2
\]

Trong đó:
- \( OA = 12 \text{ cm} \)
- \( AD = 5 \text{ cm} \)

Thay số vào phương trình:

\[
12^2 = h^2 + 5^2
\]
\[
144 = h^2 + 25
\]
\[
h^2 = 144 - 25 = 119
\]
\[
h = \sqrt{119} \approx 10.91 \text{ cm}
\]

**Bước 3:** Tính thể tích \( V \):

\[
V = \frac{1}{3} \times S_{ đáy} \times h = \frac{1}{3} \times 25\sqrt{3} \times \sqrt{119}
\]

Tính toán giá trị:

\[
V \approx \frac{25 \times 1.732 \times 10.91}{3} \approx \frac{25 \times 18.9}{3} \approx \frac{472.5}{3} \approx 157.5 \text{ cm}^3
\]

### Kết luận

- Diện tích tam giác đều ABC: \( 25\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \)
- Thể tích hình chóp tam giác đều O.ABC: khoảng \( 157.5 \, \text{cm}^3 \) (có thể làm tròn lại tuỳ thuộc vào yêu cầu).