Để chứng minh \(EIGK\) là hình bình hành, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các điểm đã cho trong bài toán.

### Dữ liệu:

- \(EFGH\) là hình bình hành, do đó:
- \(EF \parallel GH\) và \(EG \parallel FH\)
- \(IK\) là trung điểm của \(EF\) và \(GH\)

### Chứng minh:

1. **Chứng minh \(EI \parallel GK\)**:
- Vì \(I\) là trung điểm của \(EF\), nên \(EI = IF\) và \(IK\) là trung điểm của \(EF\), do đó \(IK \parallel GH\).
- Từ đó, suy ra \(EI \parallel GK\).

2. **Chứng minh \(EG \parallel IK\)**:
- Vì \(GH \parallel EF\) và \(I\) là trung điểm của \(GH\), nên \(EG \parallel IH\).
- Suy ra \(EG \parallel IK\).

3. **Chứng minh \(EI = GK\)**:
- Từ tính chất của hình bình hành \(EFGH\), ta có \(EF = GH\).
- Do \(I\) và \(K\) là trung điểm của cạnh \(EF\) và \(GH\), nên \(EI = GK\).

### Kết luận:
Với \(EI \parallel GK\) và \(EG \parallel IK\) cùng \(EI = GK\), ta có thể kết luận rằng tứ giác \(EIGK\) là hình bình hành.