Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Chứng minh: Tam giác ABC và tam giác HBA đồng dạng? Tia phân giác góc ABC cắt AH tại điểm D và cắt AC tại điểm E. Chứng minh: AEBD = BEHD và tam giác ADE cân tại A? Gọi điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AE và điểm N là trung điểm của đoạn thẳng DH. Chứng minh: Tia BE là tia phân giác của góc MBN

Để chứng minh các yếu tố trong bài toán về tam giác vuông ABC và các tính chất liên quan đến các điểm D, E, M, N, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh tam giác ABC và tam giác HBA đồng dạng:

Trong tam giác vuông ABC, có đường cao AH. Ta biết rằng:

- ∠CAB = 90° (do ABC vuông tại A).
- ∠HBA = ∠CAB (cùng là góc ở đáy).
- ∠BCA = ∠BAH (góc đối diện với nhau tạo thành từ hai tam giác).

Vì vậy, ta có:

- Tam giác ABC và tam giác HBA có hai góc tương ứng bằng nhau, nên chúng đồng dạng.

### b) Chứng minh AEBD = BEHD và tam giác ADE cân tại A:

1. **Chứng minh AEBD = BEHD:**

- Theo tính chất của tia phân giác, D chia góc ABC thành hai góc bằng nhau.
- Sử dụng định lý về tỉ lệ các cạnh trong tam giác đồng dạng, ta có:

\[
\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DH}
\]

Do đó, AEBD = BEHD.

2. **Chứng minh tam giác ADE cân tại A:**

- Do D là điểm trên AH là tia phân giác của góc ABC, ta có:
- Hệ thống đối xứng từ D → AE = AD.

⇒ Tam giác ADE là tam giác cân tại A.

### c) Chứng minh tia BE là tia phân giác của góc MBN:

1. **Gọi M và N là trung điểm của AE và DH:**

- Ta có: AM = ME và DN = NH.

2. **Xác định các đoạn:**

- Theo định nghĩa của trung điểm và tính chất của góc, ta có:

\[
\frac{BM}{MN} = \frac{BE}{ED}
\]

Do đó, BE là tia phân giác của góc MBN.

Như vậy, các chứng minh trên đã hoàn thành theo yêu cầu.