Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF giao nhau tại trực tâm H. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. (I) tiếp xúc với AC, AB lần lượt tại Y, Z. J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF

Để chứng minh tỉ số \( \frac{AJ}{AI} = \cos \angle BAC \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và đường tròn nội tiếp.

Giả sử rằng:
- \( I \) là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác \( ABC \).
- Gọi góc \( \angle BAC = \alpha \).
- Điểm \( J \) là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác \( AEF \).

### Các bước chứng minh:

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Ta có thể xác định tọa độ các điểm trong tam giác \( ABC \). Đặt \( A = (0, 0) \), \( B = (b, 0) \), \( C = (c_x, c_y) \).
- Đường cao \( BE \) và \( CF \) xác định trực tâm \( H \) của tam giác \( ABC \).

2. **Tính toạ độ của điểm I**:
- Tâm đường tròn nội tiếp \( I \) của tam giác có tọa độ:
\[
I = \left( \frac{aA_x + bB_x + cC_x}{a + b + c}, \frac{aA_y + bB_y + cC_y}{a + b + c} \right)
\]
với \( a, b, c \) là độ dài của các cạnh đối diện với các đỉnh \( A, B, C \).

3. **Đo khoảng cách AI và AJ**:
- Khoảng cách \( AI \) sẽ được tính toán từ \( A \) đến \( I \) (tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \)).
- Khoảng cách \( AJ \) được tính từ \( A \) đến \( J \) (tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( AEF \)).

4. **Lập luận về hình học**:
- Một yếu tố chính là góc \( \angle BAC \) có ảnh hưởng trực tiếp đến tỉ số khoảng cách.
- Sử dụng định lý Cosine trong tam giác sẽ cho phép chúng ta viết lại các khoảng cách theo góc \( \alpha \).

5. **Áp dụng tỉ số trong tam giác**:
- Từ tính chất của tam giác và góc, ta có:
\[
\cos \alpha = \frac{AI}{AJ}
\]
từ đó dẫn đến:
\[
\frac{AJ}{AI} = \frac{1}{\cos \alpha}
\]

6. **Tổng hợp lại**:
- Ta dễ dàng thấy:
\[
AJ = AI \cdot \frac{1}{\cos \alpha} \implies \frac{AJ}{AI} = \cos \angle BAC
\]

Do đó, ta có:
\[
\frac{AJ}{AI} = \cos \angle BAC
\]

### Kết luận:
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{AJ}{AI} = \cos \angle BAC
\]