Để giải phương trình

\[
\frac{x^2 - 4x - 8}{x^2 - 4} + \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{x - 5}{x - 2},
\]

ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Rút gọn biểu thức bên trái**.

Đầu tiên, ta sẽ rút gọn phân thức đầu tiên:

\[
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).
\]

Vậy, phân thức có thể viết lại như sau:

\[
\frac{x^2 - 4x - 8}{(x - 2)(x + 2)}.
\]

Để rút gọn, ta cần phân tích biểu thức \(x^2 - 4x - 8\). Ta tìm nghiệm của biểu thức này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 16 + 32 = 48.
\]

Nghiệm là:

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}.
\]

A nên không có nghiệm mà độ phân tích thực tế không đưa ra.

2. **Tính tụ cội biểu thức bên trái**. Đưa về cùng mẫu.

Sau khi có all, ta đưa cả các phân thức này về cùng mẫu với nhau:

\[
= \frac{(x + 1)(x - 2)(x - 2) + (x - 5)(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}.
\]

Giải phương trình theo phương pháp tách mẫu và tìm thêm.

3. **Ba thêm vào giải phương trình** với từng phương trình và giải từng hệ cần thiết để tìm kiếm nghiệm cụ thể cuối cùng.

Sau những bước này, bạn có thể tìm kiếm nghiệm cho phương trình này. Nếu bạn có khó khăn trong một trong các bước, hãy cho tôi biết!