Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(2πt + π/2) cm. Khi vật có li độ x = 2 cm thì vật có tốc độ là 4√(π) cm/s. Hỏi giá trị của a là bao nhiêu?

Để giải bài toán này, ta bắt đầu từ phương trình dao động điều hòa:

\[ x = 4 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) \text{ (cm)} \]

Từ phương trình, ta có thể tính được:

- Biên độ \( A = 4 \, \text{cm} \)
- Tần số góc \( \omega = 2\pi \, \text{rad/s} \)

Khi li độ \( x = 2 \, \text{cm} \), ta có thể tính \( t \) theo phương trình trên:

\[ 2 = 4 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) \]

Suy ra:

\[ \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \]

Giải phương trình này cho \( 2\pi t + \frac{\pi}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

Từ đó, ta có:

1. \( 2\pi t + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} \)
- Giải ra: \( t = \frac{1}{12} \) giây
2. \( 2\pi t + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} \)
- Giải ra: \( t = -\frac{1}{12} + k \) (không xét vì không âm)

Với \( t = \frac{1}{12} \), ta tính tốc độ:

\[ v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(2\pi t + \frac{\pi}{2}) \]

Tính từ \( A = 4 \, \text{cm} \) và \( \omega = 2\pi \):

\[ v = -4 \cdot 2\pi \sin(2\pi \cdot \frac{1}{12} + \frac{\pi}{2}) \]

Vì:

\[ 2\pi \cdot \frac{1}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3} \]

Từ đó:

\[ v = -8\pi \sin(\frac{2\pi}{3}) \]

Ta biết \( \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ v = -8\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -4\pi\sqrt{3} \, \text{cm/s} \]

Tuy nhiên, theo đề bài cho câu tốc độ là \( 4\sqrt{\pi} \, \text{cm/s} \), ta so sánh với kết quả vừa tìm được.

Từ \( v = A \omega \sqrt{1 - \left( \frac{x}{A} \right)^2} \):

\[ 4\sqrt{\pi} = 4 \cdot 2\pi \sqrt{1 - \left( \frac{2}{4} \right)^2} \]

Chúng ta giải ra:

1. Tính \( \sqrt{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
2. Đổi lại phương trình cho \( v \):

\[ 4\sqrt{\pi} = 8\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\pi\sqrt{3} \]

Từ đó, \( \frac{4\sqrt{\pi}}{4\pi\sqrt{3}} = 1 \Rightarrow \pi = 3 \).

Vì vậy, giá trị của \( a \) tương ứng với \( \pi \) là gì? Thực ra:

Giá trị bạn cần tìm là

\[ a = 3 \]

Kết luận: \( a = 3 \).