Để giải các phương trình sau, ta sẽ lần lượt xử lý từng phương trình một.

### Phương trình 1:
\[
|-x - 1| = \frac{1}{6}
\]

Ta có 2 trường hợp:

1. \(-x - 1 = \frac{1}{6}\)
\[
-x = \frac{1}{6} + 1 \Rightarrow -x = \frac{1}{6} + \frac{6}{6} = \frac{7}{6} \Rightarrow x = -\frac{7}{6}
\]

2. \(-x - 1 = -\frac{1}{6}\)
\[
-x = -\frac{1}{6} + 1 \Rightarrow -x = -\frac{1}{6} + \frac{6}{6} = \frac{5}{6} \Rightarrow x = -\frac{5}{6}
\]

### Phương trình 2:
\[
|-2x - 1| = \frac{1}{6}
\]

Cũng có 2 trường hợp:

1. \(-2x - 1 = \frac{1}{6}\)
\[
-2x = \frac{1}{6} + 1 \Rightarrow -2x = \frac{1}{6} + \frac{6}{6} = \frac{7}{6} \Rightarrow x = -\frac{7}{12}
\]

2. \(-2x - 1 = -\frac{1}{6}\)
\[
-2x = -\frac{1}{6} + 1 \Rightarrow -2x = -\frac{1}{6} + \frac{6}{6} = \frac{5}{6} \Rightarrow x = -\frac{5}{12}
\]

### Phương trình 3:
\[
|x - 4| = \frac{1}{3} - \frac{1}{7}
\]

Đầu tiên, ta tính \(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}\):
\[
\frac{1}{3} - \frac{1}{7} = \frac{7}{21} - \frac{3}{21} = \frac{4}{21}
\]

Giờ ta có phương trình:
\[
|x - 4| = \frac{4}{21}
\]

Chia thành 2 trường hợp:

1. \(x - 4 = \frac{4}{21}\)
\[
x = 4 + \frac{4}{21} = \frac{84}{21} + \frac{4}{21} = \frac{88}{21}
\]

2. \(x - 4 = -\frac{4}{21}\)
\[
x = 4 - \frac{4}{21} = \frac{84}{21} - \frac{4}{21} = \frac{80}{21}
\]

### Phương trình 4:
\[
|x - \frac{1}{4}| = \frac{1}{7} - \frac{1}{3}
\]

Đầu tiên, ta tính \(\frac{1}{7} - \frac{1}{3}\):
\[
\frac{1}{7} - \frac{1}{3} = \frac{3}{21} - \frac{7}{21} = -\frac{4}{21}
\]

Vì độ tuyệt đối không thể bằng một số âm, nên phương trình này không có nghiệm.

### Tổng kết nghiệm:
- Phương trình 1 có nghiệm: \(x = -\frac{7}{6}, x = -\frac{5}{6}\)
- Phương trình 2 có nghiệm: \(x = -\frac{7}{12}, x = -\frac{5}{12}\)
- Phương trình 3 có nghiệm: \(x = \frac{88}{21}, x = \frac{80}{21}\)
- Phương trình 4 không có nghiệm.

Hy vọng bài giải đã giúp bạn hiểu rõ hơn về các phương trình này!