Tính số đo của các góc \(\overline{xOy}, \overline{xOz}\)

Để giải bài toán này, chúng ta có hai góc kề bù: \(\overline{xOy}\) và \(\overline{xOz}\) với thông tin rằng:

\[
\overline{xOy} = \frac{2}{3} \overline{xOz}
\]

### a) Tính số đo của các góc \(\overline{xOy}, \overline{xOz}\)

Giả sử số đo góc \(\overline{xOz}\) là \(z\), thì theo công thức đã cho, ta có:

\[
\overline{xOy} = \frac{2}{3}z
\]

Vì hai góc này kề bù nên:

\[
\overline{xOy} + \overline{xOz} = 180^\circ
\]

Thay thế các giá trị vào:

\[
\frac{2}{3}z + z = 180^\circ
\]

Tương đương với:

\[
\frac{2}{3}z + \frac{3}{3}z = 180^\circ
\]
\[
\frac{5}{3}z = 180^\circ
\]

Giải ra \(z\):

\[
z = 180^\circ \times \frac{3}{5} = 108^\circ
\]

Do đó:

\[
\overline{xOz} = 108^\circ
\]
\[
\overline{xOy} = \frac{2}{3} \times 108^\circ = 72^\circ
\]

### b) Vẽ tia \(Om\) là tia phân giác của \(\overline{xOy}\). Tính số đo của \(\overline{Om}\) và \(\overline{zOm}\)

Tia phân giác của góc \(\overline{xOy}\) chia góc thành hai phần bằng nhau:

\[
\overline{Om} = \frac{1}{2} \overline{xOy} = \frac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ
\]

Vì vậy:

\[
\overline{zOm} = \overline{xOz} - \overline{Om} = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ
\]

### c) Vẽ tia \(On\) là tia phân giác của \(\overline{xOz}\). Tính số đo của \(\overline{nOm}\)

Tia phân giác của góc \(\overline{xOz}\) chia góc thành hai phần bằng nhau:

\[
\overline{On} = \frac{1}{2} \overline{xOz} = \frac{1}{2} \times 108^\circ = 54^\circ
\]

Vì vậy:

\[
\overline{nOm} = \overline{Om} - \overline{On} = 36^\circ - 54^\circ
\]

Ta thấy \(\overline{nOm}\) không thể tồn tại vì \(nOm\) sẽ là một yếu tố không hợp lý trong tình huống này.

### d) Tia \(Ox\) có nằm trong góc \(mOn\) không? Vì sao?

Để xác định điều này, ta xét số đo của các góc được hình thành:

- \(\overline{Om}\) có số đo \(36^\circ\)
- \(\overline{On}\) có số đo \(54^\circ\)

Tia \(Ox\) nằm giữa \(Om\) và \(On\), nên tia \(Ox\) sẽ nằm trong góc \(mOn\) vì \(36^\circ < \overline{Om} < \overline{On} < 54^\circ\).

### Tóm tắt
- Số đo \(\overline{xOy} = 72^\circ\), \(\overline{xOz} = 108^\circ\).
- \(\overline{Om} = 36^\circ\), \(\overline{zOm} = 72^\circ\).
- \(\overline{nOm}\) không hợp lệ.
- Tia \(Ox\) nằm trong góc \(mOn\).