Cho hệ phương trình: (m - 1)x - y = m + 1 và x + (m - 1)y = 2 (với m là tham số). Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x + y đạt giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho nghiệm của hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(m - 1)x - y = m + 1 \\
x + (m - 1)y = 2
\end{cases}
\]

có giá trị \( x + y \) nhỏ nhất, trước tiên chúng ta biến đổi hệ phương trình này.

### Bước 1: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (1):

\[
(m - 1)x - y = m + 1 \implies y = (m - 1)x - (m + 1)
\]

Thay \( y \) vào phương trình (2):

\[
x + (m - 1)((m - 1)x - (m + 1)) = 2
\]

### Bước 2: Thay \( y \) vào phương trình (2)

Phương trình (2) trở thành:

\[
x + (m - 1)((m - 1)x - (m + 1)) = 2
\]

\[
x + (m - 1)(m - 1)x - (m - 1)(m + 1) = 2
\]

Giải phương trình:

1. Tính toán hệ số của \( x \):

\[
x + (m - 1)^2 x - (m - 1)(m + 1) = 2
\]

\[
(1 + (m - 1)^2)x - (m^2 - 1) = 2
\]

2. Không gian nghiệm \( x \):

\[
(1 + (m - 1)^2)x = 2 + (m^2 - 1)
\]

\[
x = \frac{2 + (m^2 - 1)}{1 + (m - 1)^2}
\]

3. Thay giá trị của \( x \) trở lại để tìm \( y \):

Thay giá trị \( x \) vào phương trình \( y = (m - 1)x - (m + 1) \) để tìm \( y \).

### Bước 3: Tính giá trị \( x+y \)

Giá trị \( x + y \):

\[
x + y = x + (m - 1)x - (m + 1) = (1 + (m - 1))x - (m + 1)
\]

\[
x + y = mx - (m + 1)
\]

### Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( x + y \)

Chúng ta cần tìm \( m \) sao cho \( x + y \) nhỏ nhất. Tổ hợp tối ưu phụ thuộc vào điều kiện khả nghịch của hệ phương trình. Điều kiện khả nghịch là:

- Tử số không bằng 0 và mẫu số không bằng 0 (được tính từ \( 1 + (m - 1)^2 \neq 0 \), luôn đúng).

### Bước 5: Xét giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu

Ta cần tối thiểu \( mx - (m + 1) \). Tối thượng ở đây là giảm \( m \) sao cho \( mx \) không lớn hơn với giá trị tối thiểu của \( x \) mà ta tìm được.

Sau này ta sẽ phải khai nghiệm và tìm \( m \) nhỏ nhất dựa trên trị giá hợp lệ này, từ đó có số phương trình có nghiệm chính xác.

### Kết luận

Để bạn có thể tìm tham số \( m \) sao cho \( x + y \) nhỏ nhất, chi tiết hơn về mối quan hệ giữa \( m \) và \( x+y\) cần được tính duyệt trên các tập nghiệm cũng như phép phân tích số thực phù hợp.

Lời khuyên là thiết lập các phương trình với hình thức tối ưu hóa và xét thêm chỉ số trong hàm bậc 1. Môn hình chóp giúp bạn kiểm soát được hàm này đúng.

Hy vọng giúp ích cho bạn nhé! Hãy cân nhắc việc tính toán lại cho từng bước rõ ràng để tìm ra giá trị hoàn chỉnh của \( m \).