Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{y^2 + 3} + x + y = 5 \quad (1) \\
\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{y^2 + 3} - x - y = 2 \quad (2)
\end{cases}
\]

Ta có thể giải hệ này bằng cách thực hiện các bước sau:

1. **Trừ phương trình (2) khỏi (1)**:
\[
(\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{y^2 + 3} + x + y) - (\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{y^2 + 3} - x - y) = 5 - 2
\]
Điều này dẫn tới:
\[
2x + 2y = 3 \Rightarrow x + y = \frac{3}{2}
\]

2. **Thay \(y = \frac{3}{2} - x\)** vào một trong các phương trình. Ta chọn phương trình (1):
\[
\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{\left(\frac{3}{2} - x\right)^2 + 3} + x + \left(\frac{3}{2} - x\right) = 5
\]

3. **Đơn giản hóa**:
\[
\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{\left(\frac{9}{4} - 3x + x^2\right) + 3} + \frac{3}{2} = 5
\]
\[
\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{x^2 - 3x + \frac{9}{4} + 3} = \frac{7}{2}
\]
\[
\sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{x^2 - 3x + \frac{21}{4}} = \frac{7}{2}
\]

4. **Giải tiếp**:
Từ đây, sẽ cần tính toán thêm hoặc thử các giá trị cụ thể cho \(x\) và \(y\) để tìm nghiệm phù hợp.

Từ hệ trên, ta thử một số nghiệm hợp lý như \(x = 1\) và \(y = \frac{1}{2}\) (hoặc nghiệm gần gũi khác) để kiểm tra lại xem có thoả mãn không.

Nếu không tìm được nghiệm dễ dàng, có thể giải bằng máy tính hoặc phương pháp số để tìm nghiệm chính xác.

Bạn có thể thử nghiệm với các giá trị cụ thể cho đến khi tìm ra nghiệm \(x\) và \(y\) thỏa mãn cả hai phương trình.