Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD, đường thẳng qua O, vuông góc với AC, cắt đường thẳng AB ở M, cắt đường thẳng CD ở N. Chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi

Để chứng minh tứ giác AMCN là hình thoi, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các đường chéo của nó.

1. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Theo tính chất của hình bình hành, O là trung điểm của cả hai đường chéo AC và BD.

2. Vì O là trung điểm của AC, nên AO = OC.

3. Đường thẳng qua O vuông góc với AC cắt AB tại M và cắt CD tại N. Do đó, OM ⊥ AC và ON ⊥ AC.

4. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng AM = CN và AN = CM, từ đó suy ra AMCN là hình thoi.

5. Trong tam giác ABO:
- Vì OM ⊥ AC, nên OM là đường cao từ O xuống cạnh AB.
- Gọi h1 là chiều cao từ O đến AB.

6. Tương tự trong tam giác CDO:
- Vì ON ⊥ AC, nên ON là đường cao từ O xuống cạnh CD.
- Gọi h2 là chiều cao từ O đến CD.

7. Ta có AO = OC (vì O là trung điểm của AC) và OM = ON (vì cả hai đều là đoạn vuông góc hạ từ O xuống các cạnh AB và CD).

8. Sử dụng tính chất của hình bình hành, ta có:
- AM = AO * (h1/h2)
- CN = OC * (h1/h2)

9. Do AO = OC, ta suy ra AM = CN.

10. Tương tự, ta cũng có thể chứng minh AN = CM.

Kết luận, vì AM = CN và AN = CM, nên tứ giác AMCN là hình thoi.