Để tìm tham số \( m \) trong hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
mx + 4y = 1 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách biểu diễn \( y \) từ phương trình thứ hai và thay vào phương trình đầu tiên.

Từ phương trình thứ hai:

\[
y = 2 - x
\]

Thay giá trị của \( y \) vào phương trình đầu tiên:

\[
mx + 4(2 - x) = 1
\]

Giải phương trình này:

\[
mx + 8 - 4x = 1
\]

Sắp xếp lại:

\[
(mx - 4x) + 8 = 1
\]

\[
mx - 4x = 1 - 8
\]

\[
(mx - 4x) = -7
\]

\[
(m - 4)x = -7
\]

Để hệ phương trình có nghiệm, hai trường hợp có thể xảy ra:

1. \( m - 4 \neq 0 \): Khi đó, chúng ta có thể giải ra \( x \):

\[
x = \frac{-7}{m - 4}
\]

Và \( y \) sẽ được tính bằng công thức:

\[
y = 2 - x = 2 - \frac{-7}{m - 4} = 2 + \frac{7}{m - 4}
\]

2. \( m - 4 = 0 \) (tức là \( m = 4 \)): Hệ phương trình trở thành:

\[
4x + 4y = 1 \implies x + y = \frac{1}{4}
\]

Trong trường hợp này, không có nghiệm chung cho cả hai phương trình, vì \( x + y = 2 \) và \( x + y = \frac{1}{4} \) không thỏa mãn cùng một giá trị.

Do đó, kết luận là:

- Hệ phương trình có nghiệm khi \( m \neq 4 \).
- Nếu \( m = 4 \), hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy tham số \( m \) mà bạn cần tìm là \( m \neq 4 \).