Để tính các tỉ số lượng giác của góc \(C\) trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(B\), ta sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác.

Trong tam giác vuông \(ABC\):
- \(BC\) là cạnh đối diện với góc \(C\).
- \(AC\) là cạnh kề với góc \(C\).
- \(AB\) là cạnh huyền.

Trước tiên, ta cần tính độ dài của cạnh huyền \(AB\) bằng Định lý Pythagore:

\[
AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} \, \text{cm}
\]

Bây giờ chúng ta có thể tính các tỉ số lượng giác của góc \(C\):

1. **Sin \(C\)**:
\[
\sin C = \frac{BC}{AB} = \frac{10}{2\sqrt{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}}
\]

2. **Cos \(C\)**:
\[
\cos C = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{2\sqrt{34}} = \frac{3}{\sqrt{34}}
\]

3. **Tan \(C\)**:
\[
\tan C = \frac{BC}{AC} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}
\]

4. **Ctn \(C\) (Cotangent)**:
\[
\cot C = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
\]

5. **Sec \(C\) (Secant)**:
\[
\sec C = \frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{34}}{6} = \frac{\sqrt{34}}{3}
\]

6. **Csc \(C\) (Cosecant)**:
\[
\csc C = \frac{AB}{BC} = \frac{2\sqrt{34}}{10} = \frac{\sqrt{34}}{5}
\]

Tóm lại, các tỉ số lượng giác của góc \(C\) là:

- \(\sin C = \frac{5}{\sqrt{34}}\)
- \(\cos C = \frac{3}{\sqrt{34}}\)
- \(\tan C = \frac{5}{3}\)
- \(\cot C = \frac{3}{5}\)
- \(\sec C = \frac{\sqrt{34}}{3}\)
- \(\csc C = \frac{\sqrt{34}}{5}\)