Để tính nhanh biểu thức \( \frac{2}{8} + \frac{3}{28} + \frac{4}{77} + \frac{5}{176} + \frac{6}{352} \), trước tiên chúng ta có thể rút gọn từng phân số:

1. \( \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

2. \( \frac{3}{28} \) không thể rút gọn.

3. \( \frac{4}{77} \) không thể rút gọn.

4. \( \frac{5}{176} \) không thể rút gọn.

5. \( \frac{6}{352} = \frac{3}{176} \)

Bây giờ, biểu thức trở thành:

\[
\frac{1}{4} + \frac{3}{28} + \frac{4}{77} + \frac{5}{176} + \frac{3}{176}
\]

Tiến hành cộng \( \frac{5}{176} \) và \( \frac{3}{176} \):

\[
\frac{5}{176} + \frac{3}{176} = \frac{8}{176} = \frac{1}{22}
\]

Như vậy, biểu thức trở thành:

\[
\frac{1}{4} + \frac{3}{28} + \frac{4}{77} + \frac{1}{22}
\]

Để cộng, chúng ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung nhỏ nhất của \( 4, 28, 77, 22 \) là \( 308 \).

Chuyển đổi các phân số:

1. \( \frac{1}{4} = \frac{77}{308} \)

2. \( \frac{3}{28} = \frac{33}{308} \) (vì \( 3 \times 11 = 33 \))

3. \( \frac{4}{77} = \frac{16}{308} \) (vì \( 4 \times 4 = 16 \))

4. \( \frac{1}{22} = \frac{14}{308} \) (vì \( 1 \times 14 = 14 \))

Giờ cộng tất cả lại:

\[
\frac{77}{308} + \frac{33}{308} + \frac{16}{308} + \frac{14}{308} = \frac{77 + 33 + 16 + 14}{308} = \frac{140}{308}
\]

Giờ rút gọn \( \frac{140}{308} \):

Cả tử số và mẫu số đều chia hết cho 4:
- Tử: \( 140 \div 4 = 35 \)
- Mẫu: \( 308 \div 4 = 77 \)

Vậy \( \frac{140}{308} = \frac{35}{77} \).

Cuối cùng, rút gọn tiếp:

\[
\frac{35}{77} = \frac{5}{11}
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{5}{11}
\]