Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh rằng: 3(a^4 + b^4 + c^4) ⩾ (a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3)

Để chứng minh bất đẳng thức \(3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3)\), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Ta có:

\[
(a^4 + b^4 + c^4)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a^2 + b^2 + c^2)^2
\]

Từ đó, ta có:

\[
3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a^2 + b^2 + c^2)^2
\]

Bây giờ, ta sẽ xét biểu thức bên phải của bất đẳng thức cần chứng minh:

\[
(a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3)
\]

Ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho \( (a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3) \):

\[
(a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3) \leq \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)(a^4 + b^4 + c^4)}
\]

Do đó, ta có thể viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là:

\[
3(a^4 + b^4 + c^4) \geq \frac{(a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3)}{(a^2 + b^2 + c^2)}
\]

Kết hợp các bất đẳng thức trên, ta thấy rằng:

\[
3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3)
\]

Vì vậy, chứng minh thành công.

Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh bất đẳng thức:

\[
3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a + b + c)(a^3 + b^3 + c^3)
\]