Để chứng minh các tỉ lệ cần thiết trong bái toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác cân và các tam giác vuông. Ta có như sau:

### a) Chứng minh ΔAMB = ΔANC

1. **Dữ liệu**:
- ΔABC là tam giác cân với AB = AC.
- BM ⊥ AC tại M.
- CN ⊥ AB tại N.

2. **Cạnh chung**:
- AM = AN (từ định nghĩa của M và N trong tam giác cân).

3. **Góc**:
- ∠BAM = ∠CAN (góc đối diện với các cạnh bằng nhau trong tam giác đều).

4. **Góc vuông**:
- ∠AMB = ∠ANC = 90° (do BM ⊥ AC và CN ⊥ AB).

5. **Sử dụng tiên đề đồng dạng**:
- Vì có 2 cạnh và góc giữa hai cạnh của ΔAMB và ΔANC giống nhau, nên ΔAMB ≅ ΔANC (theo tiêu chuẩn cạnh - góc - cạnh).

### b) Chứng minh ΔBCN = ΔCBM

1. **Dữ liệu**:
- Như đã nêu trên, BM ⊥ AC và CN ⊥ AB.

2. **Cạnh chung**:
- BC là cạnh chung.

3. **Góc**:
- ∠BCN = ∠CBM (cùng một góc vuông).

4. **Góc vuông**:
- ∠BNC = ∠BMC = 90° (do BM ⊥ AC và CN ⊥ AB).

5. **Sử dụng tiên đề đồng dạng**:
- Vì có 2 cạnh và góc đối diện giống nhau (cạnh chung BC và 2 góc vuông), nên ΔBCN ≅ ΔCBM (theo tiêu chuẩn cạnh - góc - cạnh).

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b) theo yêu cầu.