Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần một như sau:

### a) Chứng minh tứ giác BDCN là hình bình hành.

**Giải:**
- Ta có M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Do đó, \( BM = MC \) và \( AN = NC \).
- Xét các đoạn thẳng:
- \( AD \) và \( BC \) song song (do D nằm trên tia đối của MN và MN là một đường chéo của tứ giác BDCN).
- \( CN = NB \) (vì N là trung điểm).
- Vậy, theo định nghĩa hình bình hành:
- Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song ⇒ tứ giác BDCN là hình bình hành.

### b) Chứng minh AD = BN.

**Giải:**
- Trong tam giác vuông ABC, theo định lý Pythagore, ta có:
- \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \).
- Đối với các trung điểm:
- \( AM = 5 \, \text{cm} \) và \( AN = 4 \, \text{cm} \) (do AC = 8 cm).
- Bằng cách sử dụng định lý về trung điểm, từ tứ giác BDCN, ta có:
- \( AD = CN = AN \).
- Vậy, ta có \( AD = BN \).

### c) Tính diện tích tam giác vuông ABC.

**Giải:**
- Diện tích tam giác vuông ABC được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times AC \times AB
\]
Trong đó:
- \( AC = 8 \, \text{cm} \)
- \( AB = \sqrt{AC^2 + AM^2} \).

Tính AB:
\[
AB = \sqrt{8^2 + 5^2}
= \sqrt{64 + 25}
= \sqrt{89} \, \text{cm}
\]

Tính diện tích S:
\[
S = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \, \text{cm}^2
\]

Kết luận:
- Diện tích của tam giác vuông ABC là \( 20 \, \text{cm}^2 \).